\section{开集和闭集}

\subsection{开集和邻域}

鉴于笔者跳过了引论的部分，笔者将重新整理教材定义给出的过程，调整顺序，说明联系。

\begin{definition}[拓扑空间和开集]
    一个非空集合$X$，加上它的子集族$\mathcal{F} \subseteq 2^X$构成一个拓扑空间，$\mathcal{F}$中的元素称为$X$中的开集，$\mathcal{F}$称为$X$的拓扑。

    $\mathcal{F}$满足下列要求：
    \begin{enumerate}
        \item {$\varnothing$和$X$是开集；}
        \item {任意多个开集的并集仍是开集；}
        \item {有限多个开集的交集仍是开集。}
    \end{enumerate}
\end{definition}

接下来给出一些拓扑空间的例子和一些常用的拓扑空间。

\begin{example}[$\RR^n$的欧式拓扑]
    通常而言我们讨论的$\RR^n$的拓扑都是欧式拓扑。欧式拓扑是这样定义的：
    $U \in X$是开集，当且仅当任取$x \in U$，都存在$\varepsilon >0$，
    使得以$x$为中心，半径为$\varepsilon$的开球$B(x,\varepsilon) =\{p \in X \mid |x-p| < \varepsilon\}\subseteq U$。
    譬如，$\RR^2$中的子集$A = (-1,1)\times (-1,1)$是开集，因为任取$p = (x,y) \in A$，取
    $$\varepsilon = \min\{1-|x|,1-|y|\}/2 > 0$$
    则$B(p,\varepsilon) \subseteq A$，那么$A$就是开集。

    可以验证这样定义的拓扑满足拓扑的三条公理——显然空集和$X$是开集；
    任取开集$A_i$（$i\in I$），记$M = \bigcup\limits_{i \in I}A_i$，任意的$p \in M$，总存在$A_{i_0} \ni p$，
    那么$p$所对应的开球$B(p,\varepsilon_p) \subseteq A_{i_0} \subseteq M$，进而$M$开；
    任取开集$B_i$（$i \in 1,2,\cdots,n$），记$N = \bigcap\limits_{i=1}^{n}B_i$，任意的$p \in N$，
    假设$p$在$B_i$中对应的开球是$\varepsilon_i$，取$\varepsilon = \min\limits_{i = 1,2,\cdots,n}\varepsilon_i$，则显然
    $B(p,\varepsilon) \subseteq B_i$（$i = 1,2,\cdots,n$），进而$B(p, \varepsilon) \in N$，进而$N$是开集。
\end{example}

\begin{definition}[子空间拓扑]
    若$X$是拓扑空间，$Y\subseteq X$，$Y$上的子空间拓扑（诱导拓扑）是这样的：$Y$中的开集是$X$是的开集交上$Y$得到的，换言之
    $$\mathcal{F}_Y = \{U \cap Y \mid U\in \mathcal{F}_X\}$$
\end{definition}

\begin{example}[离散拓扑]
    如果拓扑空间$X$的每个子集都是开集，那么我们就称$X$被赋予了离散拓扑。

    譬如，$\ZZ$配备关于$\RR$的子空间拓扑是离散拓扑。因为任取$U \subseteq \ZZ$，有
    $$U = \ZZ \cap \left(\bigcup_{n \in U}(n-0.1,n+0.1)\right)$$
    进而$U$是开集。
\end{example}

\begin{example}[平凡拓扑]
    拓扑空间$X$被赋予平凡拓扑，当且仅当拓扑空间$X$中的开集只有$\varnothing$和$X$。
    
    这样的拓扑空间是非常僵硬的，很不柔性。
\end{example}

\begin{example}[余有限拓扑]
    拓扑空间$X$被赋予余有限拓扑，当且仅当它开集的补集是有限集或整个$X$，也即
    $$\mid X - A \mid < +\infty \text{或} A = \varnothing \Leftrightarrow A\text{是}X\text{中的开集}$$

    我们来说明一下这样的拓扑空间满足开集三公理：
    \begin{proof}
        首先，$X$和$\varnothing$是开集是显然的。
        其次，任取一系列开集$A_i$（$i\in I$），都有$\mid X-\bigcup\limits_{i \in I}A_i \mid < +\infty$显然。
        最后，任取一系列开集$B_i$（$i = 1,2,\cdots,n$），记$m = \max\limits_{i = 1,2,\cdots,n}\mid X - A_i\mid$，显然有
        $| X - \bigcap\limits_{i=1}^nA_i | = |\bigcup\limits_{i=1}^n(X-A_i) | \le nm < +\infty$。
    \end{proof}
    这个拓扑空间常常被用来构造反例
\end{example}

\begin{myremark}[凭什么是任意并、有限交]
    因为事实上，允许无限交会导致一些非常烂的性质，譬如说$\RR^n$的欧式拓扑：
    假定我们认为开集的无限交是开集，考虑任意的$p \in \RR^n$，由我们的假设可知
    $$\bigcap_{r \in \RR^+}B(p,r) = \{p\}$$
    应该也是开集，那这样的话任意的单点集都是开集，在使用任意并都是开集，就说明了
    $\RR^n$的任意子集都是开集，欧式拓扑就退化成了离散拓扑了。

    事实上可以说明，一旦要求任意交都是开集，则所有的Hausdorff空间的任何拓扑都退化成了离散拓扑。

    这启发我们得到下面的结论：
    \begin{corollary}[有限拓扑空间是Hausdorff空间$\Leftrightarrow$配备离散拓扑]
        假设有有限大小拓扑空间$X$，$X$是Hausdorff空间，当且仅当$X$被配以离散拓扑。
    \end{corollary}
    \begin{proof}
        假设$X$是有限Hausdorff空间，则任给$p \in X$，每取一个$q \in X$（$q \ne p$），
        都存在开集$U_q, V_q$使得$p \in U_q, q \in V_q, U_q \cap V_q = \varnothing$。
        因为$X$大小有限，则$q$的数量有限。由开集的有限交还是开集可知
        $$\bigcap_{q \in X, q \ne p}U_q = \{p\}$$
        也是开集，进而我们知道任意的$p \in X$，$\{p\}$都是开集，进而$X$的任意子集都是开集，这说明了$X$被赋予了离散拓扑。

        假设$X$是有限拓扑空间，赋予离散拓扑，则对于任意的$p,q \in X$，$p\ne q$，取$q \in \{q\}, p \in \{p\}$，都有
        $\{p\}\cap \{q\} = \varnothing$，则$X$是一个Hausdorff空间。
    \end{proof}
\end{myremark}

\begin{definition}[邻域]
    设拓扑空间$X$，$x \in X$，$X$的一个子集$A$称为$x$的邻域，当且仅当存在一个开集$O$满足$x \in O \subseteq A$。
\end{definition}



\subsection{闭集和极限点}

与开集相对应的概念是闭集。

\begin{definition}[闭集]
    我们称一个集合为闭集，当且仅当它的补集是开集。
    形式上来讲，现有拓扑空间$X$，$A \subseteq X$是闭集，当且仅当$X-A$是开集。
\end{definition}

我们可以给出一些常见的闭集的例子：
\begin{enumerate}
    \item {
        $X = \{0,1\}$，其全部开集$\mathcal{F} = \{\varnothing,\{1\},X\}$，则可以列出$X$的全部闭集$\mathcal{G}=\{\varnothing,\{0\},X\}$
    }
    \item {
        $\RR^n$中，$\{0\}$是闭集，因为记$A = \RR^n -\{0\}$，$A$可以表示成$A=\bigcup\limits_{p \in A}B(p,|p|)$，这说明$A$是开集，进而说明$\{0\}$是闭集。
    }
    \item {
        $X$赋以余有限拓扑，则所有$X$中的有限集为闭集。
    }
\end{enumerate}

注意，开集族和闭集族不能构成拓扑空间子集族的无交并，也即不一定一个集合不是开集就是闭集，也不一定一个集合是开集就不能是闭集。
考虑拓扑空间$X$中的空集和$X$，二者同时是开集和闭集；
考虑$\RR$中的左开右闭区间$[a,b)$，其既不是开集也不是闭集。

同样，我们可以仿照开集三公理，给出与之对应的的，闭集的三条性质：现有拓扑空间$X$，
\begin{enumerate}
    \item {$\varnothing$和$X$都是闭集}
    \item {闭集的无限交都是闭集}
    \item {闭集的有限并都是闭集}
\end{enumerate}

我们接下来尝试着刻画一下闭集。

\begin{definition}[极限点]
    现有拓扑空间$X$，$A\subseteq X$，一点$p\in X$称为是$A$的极限点（聚点），当且仅当
    任意开集$U \ni p$，都有$U \cap (A-\{p\}) \ne \varnothing$（也即$U$和$A-\{p\}$有交集）。
\end{definition}

\begin{definition}[闭包]
    现有拓扑空间$X$，$A \subseteq X$，我们称$A$的闭包
    $$\bar{A} = A \cup \{x \in X \mid x \text{是}A\text{的极限点}\}$$
\end{definition}

\begin{example}[极限点的相关例子]
    现有拓扑空间$X$，$A\subseteq X$：
    \begin{enumerate}
        \item {
            $X=\RR$，$A = \{1/n \mid n \in \NN^+\}$，则可以说明$0$是$A$的极限点。
            \begin{proof}
                对于任意的开集$U \ni 0$，根据欧式拓扑的规则，总存在$\varepsilon > 0$使得$B(0,\varepsilon) \subseteq U$。
                那么取$n = \left\lfloor 1/\varepsilon \right\rfloor +1$，很明显$1/n \in A$，且保证
                $1/n \in B(0,\varepsilon) \subseteq A$，这就说明$(A-\{0\})\cap U \ne \varnothing$。
            \end{proof}
            事实上可以说明$0$是$A$唯一的极限点。故可以知道$\bar{A} = \{0\} \cup A$。
        }
        \item {
            $X = \RR$，$A=[0,1)$，则$A$中每一点都是$A$的极限点，除此之外，$1$是$A$的极限点。
            \begin{proof}
                任意的$x \in A$：假设$x \ne 0$，
                任取开集$U \ni x$，我们总保证存在$\varepsilon$使得$B(x,\varepsilon) \subseteq U$，
                记$d = \min\{x, 1-x, \varepsilon\}$，容易知道$B(x,d)-\{x\} \subseteq A-\{x\}$，且$B(x,d) \subseteq U$，
                这就说明了$x$是$A$的极限点。
                
                任取开集$U \ni 1$，总可以说存在$\varepsilon$使得$B(1,\varepsilon) = (1-\varepsilon, 1+\varepsilon)\subseteq U$，
                我们总保证$(1-\varepsilon, 1+\varepsilon) \cap (0,1) \ne \varnothing$，这进而说明了$U$和$A$有交集，故$1$是$A$的极限点。
                同理可证$0$是$A$的极限点。
            \end{proof}
            因此，$\bar{A} = [0,1]$。
        }
        \item {
            $X = \RR^3$，$A=\QQ^3$，$X$中的每一点都是$A$的极限点。
            \begin{proof}
                任取$p(x,y,z) \in X$，任取开集$U \ni p$，都保证存在$\varepsilon$，使得$B(p, \varepsilon) \subseteq U$，
                鉴于有理数是稠密的，故$x$和$x+\varepsilon$之间存在一个有理数$q_x$，
                在$y$和$y + \sqrt{\varepsilon^2 - (x-q_x)^2}$之间存在一个有理数$q_y$，
                在$z$和$z + \sqrt{\varepsilon^2 - (x-q_x)^2 - (y-q_y)^2}$之间存在一个有理数$q_z$，
                容易知道$|(q_x,q_y,q_z)-(x,y,z)| < \varepsilon$，且$(q_x,q_y,q_z) \in \QQ^3 - \{p\} = A- \{p\}$，
                故$U \cap A - \{p\} \ne \varnothing$，进而$p$是$A$的极限点。
            \end{proof}
            因此，$\bar{A} = X$。
        }
        \item {
            $X = \RR^3$，$A = \ZZ^3$，则$A$不存在任何极限点。
            \begin{proof}
                任取$p(x,y,z)\in X$：倘若$p \in A$，则取$B(p,0.1) \ni p$，且保证了$B(p,0.1) \cap (A-\{p\}) = \varnothing$；
                倘若$p \notin A$，记$d = \min\{|(x,y,z) - (\lfloor x\rfloor + i,\lfloor y\rfloor + j,\lfloor z\rfloor + k)|:i,j,k \in\{0,1\}\}$，
                取$B(p,d) \ni p$，保证了$B(p,d) \cap \ZZ^3 = \varnothing$。
            \end{proof}
            因此$\bar{A} = \varnothing$。
        }
        \item {
            $X = \RR$，赋以余有限拓扑，$A$是$X$的一个无穷子集。则$X$中的每个点都是$A$的极限点。
            \begin{proof}
                任取$p \in X$，对于任意的开集$U \ni p$，都满足$|X-U| < +\infty$，
                假设$U \cap (A-\{p\}) = \varnothing$，则$A-\{p\} \subseteq X-U$，然而$|A-\{p\}| = +\infty$，$|X-U| < +\infty$，这不可能，故$U \cap (A-\{p\}) \ne \varnothing$，
                进而$p$是$A$的极限点。
            \end{proof}

            与之相对，如果$A$是$X$的有限子集，则$A$没有任何极限点。
            \begin{proof}
                任取$p \in X$，总是取$U = \{p\} \cup (X-A)$，因为$|X-U| = |A-\{p\}| < +\infty$，故$U$保证是开集，
                且$U \cap( A-\{p\}) = \varnothing$，故$p$不是$A$的极限点。
            \end{proof}
        }
    \end{enumerate}
\end{example}

接下来，我们就可以用极限点和闭包给出闭集的一个刻画了。

\begin{theorem}[闭包等于自身当且仅当其是闭集]
    现有拓扑空间$X$，$A\subseteq X$，则$A$是闭集$\Leftrightarrow$ $A = \bar{A}$。
\end{theorem}

\begin{proof}
    “$\Longrightarrow$”：首先我们知道显然地$A \subseteq \bar{A}$，
    采用反证法，假设$A \subsetneqq \bar{A}$，则必然存在$A$的一个极限点$p$，$p \notin A$，
    因此$p \in X-A$，因为$A$是闭集，所以$X-A$是开集，且$(X-A) \cap A = \varnothing$，这说明$p$不是$A$的极限点，矛盾。
    故$A = \bar{A}$。

    “$\Longleftarrow$”：由条件可以知道，任取$p \in X-A = X-\bar{A}$，$p$都不是$A$的极限点，因此总存在开集$U_p$满足$U_p \cap A = \varnothing$，
    于是有
    $$X-A = \bigcup_{p \in X-A}U_p$$
    因此$X-A$是开集，进而$A$是闭集。
\end{proof}

像例2.1.5(3)中那样，闭包是整个空间的集合，具有一些特殊的性质，于是人们起了个名字。

\begin{definition}[稠密子集]
    现有拓扑空间$X$，$A \subseteq X$，如果$\bar{A} = X$，则称$A$是稠密的。
\end{definition}

譬如，$\QQ^n$在$\RR^n$中是稠密的。

\begin{definition}[内部]
    现有拓扑空间$X$，$A \subseteq X$，集合$A$的内部$A^{\circ}$是包含于$A$的所有开集的并集。
\end{definition}

换言之，{\heiti 集合的内部是包含于集合中最大的开集。}

可以说明这么一件事情：
\begin{corollary}[集合是集合内部中的点的邻域]
    $A$的内部$A^\circ$中的任意一点$x$，$A$都是$x$的邻域。
\end{corollary}

\begin{example}[内部的相关例子]
    集合$A = \{p \in \RR^2 \mid |p| \le 1\} \subseteq \RR^2$，赋以欧式拓扑。
    则$A^\circ = \{p \in \RR^2 \mid |p| < 1\}$。
\end{example}

\begin{definition}[边界]
    现有拓扑空间$X$，$A \subseteq X$，$A$的边界是$\bar{A} \cap \overline{X-A}$。
\end{definition}

\subsection{拓扑基}

\begin{definition}[拓扑基]
    现有拓扑空间$X$，$\beta$是$X$中的一族开集，使得$X$的每一个开集都可以写成$\beta$中元素的并集，则称$\beta$为$X$上的一组拓扑基。
    $\beta$中的成员成为基础开集。
\end{definition}

形式上来讲，拓扑基$\beta$满足对于任意的开集$U$，总存在$\mathcal{S} \subseteq \beta$，都有
$$
U = \bigcup_{A \in S}A
$$

类比于空间的基底，拓扑基的并生成了拓扑空间的所有开集，因此基础开集可以认为是一个拓扑空间中最基本的元素。

\begin{example}[关于拓扑基的若干例子]
    $\RR$的一组拓扑基$\beta_1$是所有的开区间。
    \begin{proof}
        任取开集$U \subseteq \RR$，都有任意的$x \in U$，都存在$\varepsilon_x > 0$使得$(x-\varepsilon_x, x+\varepsilon_x) \subseteq U$，且$(x-\varepsilon_x,x+\varepsilon_x) \in \beta_1$。
        那么就有$$U = \bigcup_{x \in U}(x-\varepsilon_x, x+\varepsilon_x)$$
        这验证了$\beta_1$是一组拓扑基。
    \end{proof}

    事实上，$\RR^n$的一组拓扑基是$\RR^n$中的所有开球，证明同理于上文。
\end{example}

\begin{theorem}[拓扑基的判定]
    现有集合$X$，$\beta \subseteq 2^X$，且$\beta$非空，如果$\beta$中有限个成员的交集仍属于$\beta$，
    且$\bigcup\limits_{U \in \beta}U = X$，则$\beta$是$X$上某一个拓扑的拓扑基。
\end{theorem}

\begin{proof}
    取$X$上的拓扑
    $$\mathcal{F} = \{\bigcup_{U \in S}U \mid S \subseteq \beta\}$$
    我们来证明这样的拓扑满足开集三公理。

    首先$X$和$\varnothing$都是开集，分别对应$S = \beta$和$S = \varnothing$的两种情况生成的开集。

    假设有一系列开集$A_i$（$i \in I$），这样的$A_i$总可以写成
    $$A_i = \bigcup_{U \in S_i}U$$
    其中$S_i \subseteq \beta$，则
    $$\bigcup_{i \in I}A_i = \bigcup_{i \in I} \bigcup_{U \in S_i} U = \bigcup_{U \in \bigcup\limits_{i \in I}S_i}U$$
    而显然$\bigcup\limits_{i \in I}S_i \subseteq \beta$，所以$\bigcup_{i \in I}A_i$是开集。

    假设有一系列开集$B_i$（$i = 1,2,\cdots,n$），这样的$B_i$总可以写成
    $$B_i = \bigcup_{U \in S_i} U$$
    其中$S_i \subseteq \beta$，则
    $$\bigcap_{i = 1}^n B_i = \bigcap_{i = 1}^n \bigcup_{U \in S_i}U$$
    根据分配率，RHS可以写成若干个，可以写成有限$\beta$中元素的交集（它还属于$\beta$），的并集，它是开集。
\end{proof}
